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## 1. 微分万能公式 (Universal Formula)
::: tip 定义
利用**一阶微分形式不变性**，把链式法则写成逐层微分的形式。
$$\mathrm{d}y=\mathrm{d}(f(\square))=f'(\square)\mathrm{d}(\square)$$
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### 操作流程
1. **观察**：识别最外层函数 $f$ 和内层函数 $\square$。
2. **处理外层**：对最外层求导 $f'(\square)$，保留内层不动。
3. **填空**：在微分号 $\mathrm{d}$ 后填入内层函数 $\square$，继续对 $\mathrm{d}(\square)$ 重复上述步骤。
### 实战示例
求 $y=\ln(\sin(e^x))$ 的微分：
$$\begin{aligned}\mathrm{d}y & = \mathrm{d}(\ln(\sin(e^x)))\\&=\frac{1}{\sin(e^x)}\mathrm{d}(\sin(e^x))\quad\text{(剥去 ln)}\\&=\frac{1}{\sin(e^x)}\cos(e^x)\mathrm{d}(e^x)\quad\text{(剥去 sin)}\\&=\cot(e^x)e^x\mathrm{d}x\quad\text{(剥去 e)}\end{aligned}$$
> 继续学习隐函数、参数方程求导等用法，可查看 [**微分万能公式详解**](/teaching/derivative-method)。
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## 2. DI Method (表格积分法)
::: tip 定义
分部积分法 $\int u\mathrm{d}v=uv-\int v\mathrm{d}u$ 的**表格化**版本，特别适用于多次分部积分。
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### LIATE 选取规则
选取 **D 列 (求导)** 和 **I 列 (积分)** 的优先级：
1. **L**ogarithmic (对数) $\to$ 优先 D
2. **I**nverse Trig (反三角) $\to$ 优先 D
3. **A**lgebraic (代数/多项式) $\to$ 视情况 (通常 D)
4. **T**rigonometric (三角) $\to$ I
5. **E**xponential (指数) $\to$ I
### 实战示例
求 $\int x^2 e^{2x}\mathrm{d}x$：
| 符号 | **D** (求导) | **I** (积分) |
| :--: | :----------- | :------------------ |
| $+$ | $x^2$ | $e^{2x}$ |
| $-$ | $2x$ | $\frac{1}{2}e^{2x}$ |
| $+$ | $2$ | $\frac{1}{4}e^{2x}$ |
| $-$ | $0$ | $\frac{1}{8}e^{2x}$ |
**结果** (对角线相乘求和)：
$$\int x^2 e^{2x}\mathrm{d}x=\left(x^2\cdot\frac{1}{2}e^{2x}\right)-\left(2x\cdot\frac{1}{4}e^{2x}\right)+\left(2\cdot\frac{1}{8}e^{2x}\right)+C$$
$$=\frac{1}{2}x^2 e^{2x}-\frac{1}{2}x e^{2x}+\frac{1}{4}e^{2x}+C$$
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