MATLAB 基础与矩阵操作

本章介绍 MATLAB 的基础知识，包括界面操作、变量与数据类型、矩阵切片索引，以及常见的矩阵运算法则。

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0. 常用基础函数（随机与取整）

在进行数据处理或矩阵操作时，经常需要生成随机数或对数值进行取整。以下是几个常用的基础函数：

0.1 随机数生成函数

• rand 函数：生成 $0\sim 1$ 之间均匀分布的随机浮点数。
  • rand() 或 rand(1)：生成一个单个的随机标量。
  • rand(n)：生成 $n\times n$ 的随机矩阵。
  • rand(m, n)：生成 $m\times n$ 的随机矩阵。
• randi 函数：生成均匀分布的伪随机整数。
  • randi(imax)：生成 $1\sim imax$ 之间的随机整数。
  • randi([imin, imax])：生成 $imin\sim imax$ 之间的随机整数。
  • randi(imax, m, n)：生成 $m\times n$ 大小的随机整数矩阵，取值范围为 $1\sim imax$。或者使用 randi([imin, imax], m, n) 指定 $imin\sim imax$ 范围。

0.2 取整函数

MATLAB 提供了四种常见的取整函数，满足不同的取整需求：

• round：四舍五入。例如 round(3.4) 结果为 3，round(3.5) 结果为 4。
• ceil：向上取整（朝正无穷方向）。例如 ceil(3.1) 结果为 4，ceil(-3.9) 结果为 -3。
• floor：向下取整（朝负无穷方向）。例如 floor(3.9) 结果为 3，floor(-3.1) 结果为 -4。
• fix：向零取整（截断小数部分）。例如 fix(3.9) 结果为 3，fix(-3.9) 结果为 -3。

0.3 代码示例

下面是一些结合随机数生成与取整函数的简单代码示例，你可以直接在 MATLAB 命令行中尝试：

% 1. 生成一个 3x3 的随机浮点数矩阵 (0~1之间)
A = rand(3)

% 2. 生成一个 2x4 的随机整数矩阵，范围在 10 到 50 之间
B = randi([10, 50], 2, 4)

% 3. 生成随机数并取整：生成 1x5 的随机浮点数 (0~10之间) 并四舍五入
C = rand(1, 5) * 10
C_rounded = round(C)

% 4. 向上取整和向下取整的对比
num = 5.3;
val_ceil = ceil(num)   % 结果为 6
val_floor = floor(num) % 结果为 5

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1. 界面与常用基础命令

1.1 界面核心区域

• 命令行窗口 (Command Window)：交互式输入指令并实时显示结果的窗口，提示符为 >>。
• 工作区 (Workspace)：展示当前内存中已创建的所有变量名称、大小（Size）及数据类型（Class）。
• 当前文件夹 (Current Folder)：MATLAB 寻找和执行代码文件的默认路径，代码及数据文件需在此目录下。
• 命令历史记录 (Command History)：记录之前输入过的历史命令，按 ↑ 键可调出。

1.2 必备基础命令

在命令行或调试中使用以下指令，可以简化操作：

命令	功能说明	使用场景
clc	清除命令行窗口内容	清理控制台界面，不影响工作区变量。
clear	清空工作区变量	释放内存（如：clear A 清除变量 A）。
close all	关闭所有图窗	自动关闭所有当前打开的 Figure 绘图窗口。
who / whos	列出内存变量	查看当前变量，whos 包含大小与内存占用细节。
help [命令名]	命令行帮助	快速查看特定函数的语法结构与用法。
doc [命令名]	调出官方文档	在独立窗口中打开带有详尽示例的官方说明手册。

授人以渔：如何探索未知的函数？

如果你只知道大概要干什么（比如“统计分析”），但不知道具体的函数名叫什么，该怎么办？

1. 利用 doc 分类浏览：在命令行直接输入 doc 回车（不加任何参数），会打开官方文档主页。依次点击 MATLAB -> Mathematics -> Data Analysis，里面分门别类地列出了所有的基础统计与分析函数（如 sum、mean、max、var 等）。
2. 利用 lookfor 关键词搜索：例如在命令行输入 lookfor average，MATLAB 会全局检索所有描述中带有 average 的函数，并提示你 mean 函数可以实现该功能。

🎯 闯关题目 1

1. 清理环境：使用什么命令可以一键清空工作区中残留的所有变量，并清理命令行窗口的内容？
2. 文档查询：如果你忘记了 rand 函数的具体用法，如何在 MATLAB 中快速调出它的官方文档？

查看答案

1. 清理环境：连续执行 clear（清空工作区变量）和 clc（清理命令行窗口内容）即可。也可以写在一行：clear; clc。
2. 文档查询：在命令行输入 doc rand，即可在独立窗口中打开官方的图文说明手册。

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2. 变量与数据类型

2.1 变量命名规则

1. 变量名区分大小写（例如 a 与 A 代表不同变量）。
2. 必须以字母开头，后续可以由字母、数字或下划线 _ 组成。
3. 不能占用系统保留关键字（如 if、for、function 等）。

2.2 常用数据类型

• 数值型 (double)：默认所有数字均为双精度浮点数。
• 字符与字符串 (char / string)：
  • 单引号 '...' 代表字符数组 (char)，例如 'hello'，大小为 1×5。
  • 双引号 "..." 代表字符串 (string)，例如 "hello"，大小为 1×1。
• 逻辑型 (logical)：取值为 logical(1) (true) 或 logical(0) (false)。

提示：分号 ; 的作用

• 命令末尾如果不加分号，计算结果会在命令行窗口中直接打印输出。
• 命令末尾如果加上分号，计算会被执行并保存结果，但在控制台不会产生任何输出。在编写 .m 代码文件时，建议每行命令都以分号结尾，防止垃圾信息刷屏。

🎯 闯关题目 2

1. 命名判定：以下哪些是合法的 MATLAB 变量名？My_var1、2ndMatrix、_temp、matrix_A。
2. 隐藏输出：在命令行输入 x = 10 和 y = 20; 运行后，两者的表现有什么区别？
3. 逻辑隐式转换（进阶）：如果在命令行中执行数学运算 res = true + 5;，MATLAB 会抛出类型不匹配的错误，还是会正常计算？如果正常计算，res 的结果是多少？此时它的数据类型（Class）会是 logical 还是 double？为什么？

查看答案

1. 命名判定：
   • 合法：My_var1、matrix_A。
   • 不合法：2ndMatrix（不能以数字开头）、_temp（不能以下划线开头）。
2. 隐藏输出：x = 10 运行后会在命令行打印出结果；y = 20; 带有分号，计算会静默执行并保存结果，但在控制台不会有任何打印输出。
3. 逻辑隐式转换（进阶）：会正常计算。结果 res 为 6。数据类型会变为默认的 double。这是因为 MATLAB 遇到数学运算时，会将逻辑真值 true 视为数值 1，并依照精度就高原则转化为双精度浮点数进行加法运算。

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3. 矩阵与数组操作

在 MATLAB 中，标量实际上被视作 1×1 的矩阵。

3.1 矩阵的创建方法

1) 手动输入方式（使用方括号 []）

• 行向量：元素之间用空格或逗号分隔。

  row_vec = [1, 2, 3, 4]      % 1×4 行向量

• 列向量：元素之间用分号分隔。

  col_vec = [1; 2; 3; 4]      % 4×1 列向量

• 二维矩阵：结合使用逗号（分列）与分号（分行）。

  A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]   % 3×3 矩阵

2) 等差数列方式（冒号算子 :）

• 语法：首项 : 步长 : 末项（步长为 1 时，可简写为 首项:末项）。

  x = 1:2:9     % 生成行向量 [1, 3, 5, 7, 9]

3) 等分区间方式 (linspace)

• 语法：linspace(首项, 末项, 点的个数)。适用于在特定区间内生成均匀分布的坐标点。

  t = linspace(0, 2*pi, 100)  % 在 0 到 2*pi 之间等距离生成 100 个点

4) 快捷生成函数

• zeros(r, c)：生成 r 行 c 列的全零矩阵。
• ones(r, c)：生成 r 行 c 列的全一矩阵。
• eye(n)：生成 n 阶单位矩阵。
• rand(r, c)：生成 $0\sim 1$ 之间均匀分布的随机浮点数矩阵。
• randi([min, max], r, c)：生成指定范围内的随机整数矩阵。

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3.2 矩阵索引与切片

MATLAB 中的索引值是从 1 开始的（非零基索引）。

3.2.1 访问特定元素

• 语法：A(行索引, 列索引)。

  A = [10 20; 30 40];
  val = A(1, 2)  % 提取结果为 20

3.2.2 切片取值（使用冒号 :）

冒号代表该维度上的所有元素。

• A(1, :)：提取第一行的所有列（即整行提取）。
• A(:, 2)：提取第二列的所有行（即整列提取）。
• A(1:2, 2:3)：取第 1 至 2 行，第 2 至 3 列的子矩阵。
• A(end, :)：关键字 end 代表行或列的最后一个索引值。

3.2.3 矩阵元素修改

通过索引直接赋值：

A = [1 2; 3 4];
A(2, 1) = 99;   % 矩阵 A 变为 [1 2; 99 4]

3.2.4 逻辑索引 (Logical Indexing)

除了使用行号和列号，MATLAB 还支持逻辑索引。 对矩阵使用关系运算符（如 >、<、==）时，会生成一个由 0 和 1 组成的逻辑矩阵。将这个逻辑矩阵作为索引传入原矩阵，就能提取满足条件的元素。

简单示例：提取及格的分数 假设有一个包含学生成绩的行向量，我们要把其中及格（大于等于 60 分）的成绩提取出来：

scores = [45, 88, 72, 59, 91];

% 1. 生成逻辑掩码
% 关系运算符 (>=) 本身就会直接返回逻辑型数组
% 这里显式嵌套一层 logical() 能够使类型转换的代码意图更加严谨和清晰
mask = logical(scores >= 60);  % mask 的结果为逻辑型：[0, 1, 1, 0, 1]

% 2. 使用掩码提取元素（即逻辑索引）
passed = scores(mask) % 提取结果为：[88, 72, 91]

直接使用关系运算符配合 logical() 进行数据过滤 是日常数据分析中最常用的方式。

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3.3 矩阵运算：普通乘法与点运算

注意事项

普通乘除幂是严格的矩阵级代数运算，必须满足矩阵相乘的尺寸要求；而带点号的乘除幂（.*、./、.^）是元素级运算，要求左右矩阵的维度完全相同。

运算符	名称	代数含义与限制条件	示例
+ / -	矩阵加减法	要求维度一致。各位置元素分别相加减。	C = A + B
*	矩阵乘法	经典线性代数矩阵乘法。要求 A 的列数等于 B 的行数。	C = A * B
.*	点乘 (元素乘)	要求维度完全一致。对应位置元素各自相乘。	C = A .* B
^	矩阵幂	要求 A 为方阵。表示多个 A 自乘。	C = A^2
.^	点幂 (元素幂)	对矩阵中的每个元素独立求幂运算。不限形状。	C = A.^2
'	共轭转置	交换行列并对复数求共轭。	C = A'
.'	算术转置	仅交换行列，不求共轭。	C = A.'
\	左除 (反斜杠)	求解线性方程组 $Ax=B$，即 $x=A\mathrm{\setminus }B$。比 inv(A)*B 更稳定。	x = A \ B

🎯 闯关题目 3

1. 生成等差数列：如何使用冒号算子 : 生成一个从 0 开始，步长为 0.5，直到 5 结束的行向量？
2. 矩阵切片：已知矩阵 A = rand(5, 5)，请写出提取 A 的第 2 到 4 行的第 3 列和第 5 列元素的表达式。
3. 逻辑索引：给定向量 v = [10, -5, 8, -2, 4]，请写出一行代码，直接提取出 v 中所有大于 0 的元素。
4. 运算辨析：现有行向量 u = [1, 2, 3] 和 v = [4, 5, 6]，执行 u * v 与 u .* v 时，哪一个会报错？为什么？

查看答案

1. 生成等差数列：使用表达式 0:0.5:5。
2. 矩阵切片：使用表达式 A(2:4, [3, 5])。
3. 逻辑索引：使用表达式 v(v > 0) 即可。
4. 运算辨析：u * v 会报错。因为 * 是矩阵乘法，要求前一个矩阵的列数等于后一个矩阵的行数（这里 u 的列数是 3，v 的行数是 1，维度不匹配）。而 .* 是点乘（元素乘），要求两矩阵形状完全相同，因此 u .* v 可以正常执行并得到 [4, 10, 18]。

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4. 实践项目：学生成绩数据分析

本练习只需在命令行操作，主要用于熟悉矩阵的切片提取与逻辑索引。

4.1 项目描述

假设你是一位助教，拿到了班级 5 名学生在 3 门科目（数学、物理、编程）上的成绩单。请在 MATLAB 工作区中完成以下分析任务：

1. 录入成绩矩阵：请根据下方给出的数据，在 MATLAB 中构建一个 5 行 3 列的矩阵 grades（每一行代表一名学生的 3 门成绩）：

   学生序号	数学 (第 1 列)	物理 (第 2 列)	编程 (第 3 列)
   1	78	85	90
   2	60	55	75
   3	92	88	95
   4	85	90	80
   5	50	65	59

2. 计算平均分：提取数学（第 1 列）的成绩，计算全班的单科平均分。 (提示：你可以使用 MATLAB 的内置函数 sum(向量) 来对整列求和，或者直接使用 mean(向量) 求平均值)
3. 逻辑筛选（难点）：找出所有在“编程”科目（第 3 列）中得分超过 85 分的优秀分数，并将这些高分单独提取到一个列向量中。

4.2 动手实践

请先尝试自己在 MATLAB 工作区中一步步敲出命令并验证。本题参考代码已加密保护：

🔒 输入密码解锁参考代码

通过这个练习，你可以实际体验 MATLAB 中矩阵切片和逻辑索引的用法。