积分定义

积分的定义 (Definitions)

积分可以从黎曼和定义出发理解：先分割区域，再用简单几何量近似，最后通过极限得到精确结果。

“

“定积分和二重积分的定义都遵循同一流程：分割、近似、求和、取极限。”

MatNoble

1. 一元函数定积分 (Definite Integral)

在微积分中，一元函数的定积分通常通过黎曼和 (Riemann Sum) 来定义。基本想法是将区间分割成许多小段，用矩形面积近似曲线下的面积。

黎曼和的构建过程

1. 分割：将闭区间 $[a,b]$ 划分为 $n$ 个子区间 $[x_{i-1},x_i]$。
2. 近似：在每个子区间内任取一点 ${\xi }_i$，以 $f({\xi }_i)$ 为高，$\mathrm{\Delta }{x}_i$ 为宽构建矩形。
3. 求和：计算所有矩形的面积之和 $S_n=\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$。
4. 取极限：令子区间长度的最大值 $\lambda \to 0$。

正式定义

设函数 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上有界，若极限

$${\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i)\mathrm{\Delta }{x}_i$$

存在且与分割方式及点 ${\xi }_i$ 的取法无关，则称 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上可积。

---

2. 二重积分 (Double Integral)

当我们从一维延伸到二维空间，积分的定义在逻辑上是完全平移的。二重积分衡量的是三维空间中曲顶柱体的体积。

从一维到二维的跨越

在二重积分中，我们的“积分域”从一段区间 $[a,b]$ 变成了平面上的一个区域 $D$。

1. 分割：将区域 $D$ 划分成 $n$ 个小区域 $\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$。
2. 近似：在每个小区域内任取一点 $({\xi }_i,{\eta }_i)$，以 $f({\xi }_i,{\eta }_i)$ 为高，$\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$ 的面积为底。
3. 求和：计算所有小柱体的体积之和 $\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$。
4. 取极限：令所有小区域直径的最大值 $\lambda \to 0$。

正式定义

设 $f(x,y)$ 是定义在闭区域 $D$ 上的有界函数，若极限

$${\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}A=\underset{\lambda \to 0}{lim}\sum _{i=1}^{n}f({\xi }_i,{\eta }_i)\mathrm{\Delta }{\sigma }_i$$

存在，则称此极限值为 $f(x,y)$ 在 $D$ 上的二重积分。

💡 几何意义

• 一元定积分：代表 $x$ 轴上方曲线围成的面积。
• 二重积分：代表 $xy$ 平面上方曲面围成的体积。

---

3. 四个步骤

无论是一元积分还是多元积分，定义通常都按这四个步骤展开：

步骤	操作	目的
分割 (Partition)	将整体切碎	变“变率”为“常量”
近似 (Approximate)	代以简单几何体	可计算性
求和 (Sum)	重新组合	恢复总量
取极限 (Limit)	让分割趋细	消除误差，获得精确值

理解这四步，有助于把定积分、二重积分和更高维积分放在同一套定义框架中。

下一章：深度探索

微分万能公式

继续学习复合函数求导的逐层微分写法。