导数计算

微分万能公式 (Universal Formula)

利用一阶微分形式不变性，把链式法则写成逐层微分的计算流程。属于 [微积分专题](/teaching/calculus) 中的导数计算内容。

摘要 / Takeaways

微分万能公式 (Universal Formula) 是一种导数计算写法。

• 基本逻辑：利用一阶微分形式不变性，将 $y=f(g(x))$ 的导数计算转化为微分形式 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(◻)\mathrm{d}(◻)$。
• 主要用途：把“链式法则”的复合结构拆成逐层微分，适合处理隐函数、参数方程与变上限积分。
• 关联术语：一阶微分形式不变性、逐层微分、微积分三大计算。

1. 引例：为什么要用“微分”算“导数”？

在正式介绍法则之前，我们先看一个简单的例子。 假设我们需要对 $y=\sin (x^2)$ 求导。

传统链式法则 (Chain Rule) 的思维过程是这样的：

1. 令中间变量 $u=x^2$，则 $y=\sin (u)$。
2. 应用公式 $y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}u}\cdot \frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}$。
3. 计算 $\cos (u)\cdot 2x=2x\cos (x^2)$。

虽然这个例子很简单，但当函数嵌套层数增加时（例如 $y=\ln (\cos (\sqrt{1+x^2}))$），我们需要引入 $u,v,w$ 等多个中间变量，极易在“谁对谁求导”的问题上晕头转向。

微分万能公式 则提供了一种逐层处理的写法： 我们不关心谁是自变量，只关心形式。

$$\mathrm{d}(\sin (x^2))=\cos (x^2)\cdot \mathrm{d}(x^2)=\cos (x^2)\cdot 2x\mathrm{d}x$$

最后一步两边同除以 $\mathrm{d}x$，即得 $y^{\prime }=2x\cos (x^2)$。

这种写法减少了显式设置中间变量的步骤，重点是保持微分形式的一致性。

2. 基本法则：微分万能公式

定义

微分万能公式 利用 一阶微分形式不变性，将微分运算概括为以下通式：

$$\mathrm{d}(f(◻))=f^{\prime }(◻)\cdot \mathrm{d}(◻)$$

其中 $◻$ 可以是自变量 $x$，也可以是中间变量 $u$，还可以是一个复合函数式。

理论基础

微积分教材中有一条常用性质：

一阶微分形式不变性：无论 $u$ 是自变量还是中间变量，微分表达式 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(u)\mathrm{d}u$ 的形式始终保持不变。

这意味着，我们可以在不拆解复合结构的情况下，直接对最外层函数进行微分，然后将内层函数作为一个整体（$◻$）保留到 $\mathrm{d}(◻)$ 中等待下一步处理。

3. 解题步骤：逐层微分

我们将计算过程标准化为以下三个步骤：

第一步：识别外层函数

先识别当前函数结构中最外层的函数 $f$。 例如：对于 $\ln (\sin x)$，最外层是 $\ln (◻)$，内层 $◻$ 是 $\sin x$。

第二步：套用公式 (Apply Formula)

写出外层函数的导数 $f^{\prime }(◻)$，完全照抄内层函数 $◻$，然后乘以 $\mathrm{d}(◻)$。

$$\mathrm{d}(\ln (\sin x))=\frac{1}{\sin x}\cdot \mathrm{d}(\sin x)$$

第三步：递归处理 (Recurse)

查看 $\mathrm{d}(◻)$ 中的 $◻$ 是否还需要继续微分。

• 如果 $◻$ 是 $x$，则结束，写成 $\mathrm{d}x$。
• 如果 $◻$ 仍是复合函数，重复第一步。

$$\cdots =\frac{1}{\sin x}\cdot (\cos x\mathrm{d}x)=\cot x\mathrm{d}x$$

---

4. 典型例题

这一写法在隐函数与参数方程求导中比较方便。

场景一：隐函数求导 (Implicit Differentiation)

题目：求由方程 $x^2+y^2=\sin (xy)$ 确定的隐函数 $y=y(x)$ 的导数 $y^{\prime }$。

解法： 直接对等式两边同时取微分 $\mathrm{d}$（记住：$x$ 和 $y$ 地位平等，谁也不必特意对谁求导）：

$$\mathrm{d}(x^2)+\mathrm{d}(y^2)=\mathrm{d}(\sin (xy))$$

利用万能公式展开：

$$2x\mathrm{d}x+2y\mathrm{d}y=\cos (xy)\cdot \mathrm{d}(xy)$$

右边利用乘法法则 $\mathrm{d}(uv)=u\mathrm{d}v+v\mathrm{d}u$：

$$2x\mathrm{d}x+2y\mathrm{d}y=\cos (xy)\cdot (y\mathrm{d}x+x\mathrm{d}y)$$

现在的任务只是简单的代数变形（移项）：

$$(2y-x\cos (xy))\mathrm{d}y=(y\cos (xy)-2x)\mathrm{d}x$$$$y^{\prime }=\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{y\cos (xy)-2x}{2y-x\cos (xy)}$$

点评：相比于两边同时对 $x$ 求导，微分法把 $\mathrm{d}x$ 与 $\mathrm{d}y$ 明确保留下来，能减少漏写 $y^{\prime }$ 的错误。

场景二：参数方程二阶导 (Second Derivative)

题目：已知 $\{\begin{array}{l}x=t^2\\ y=t^3\end{array}$，求 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}$。

解法：

1. 求一阶导：

   $$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(t^3)}{\mathrm{d}(t^2)}=\frac{3t^2\mathrm{d}t}{2t\mathrm{d}t}=\frac{3}{2}t$$

2. 求二阶导（易错点）： 很多同学会直接对 $t$ 求导得 $3/2$，这是错误的！二阶导是对 $x$ 求导。 利用微分定义：

   $$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{x}^2}=\frac{\mathrm{d}(y^{\prime })}{\mathrm{d}x}=\frac{\mathrm{d}(\frac{3}{2}t)}{\mathrm{d}(t^2)}$$

   再次使用万能公式：

   $$=\frac{\frac{3}{2}\mathrm{d}t}{2t\mathrm{d}t}=\frac{3}{4t}$$

点评：参数方程二阶导的关键是再次对 $x$ 求导，而不是直接对参数 $t$ 求导。

---

5. 课后习题 (Exercises)

建议拿出纸笔，遮住答案进行练习。

习题 1：多层复合函数

题目：求 $y=\arctan (e^{3x})$ 的微分 $\mathrm{d}y$。

解答：

$$\mathrm{d}y=\frac{1}{1+(e^{3x}{)}^2}\cdot \mathrm{d}(e^{3x})$$$$=\frac{1}{1+e^{6x}}\cdot e^{3x}\cdot \mathrm{d}(3x)$$$$=\frac{3e^{3x}}{1+e^{6x}}\mathrm{d}x$$

习题 2：对数求导法

题目：求 $y=x^{\sin x}$ 的导数（$x>0$）。

解答： 两边取对数：$\ln y=\sin x\cdot \ln x$ 两边取微分：

$$\mathrm{d}(\ln y)=\mathrm{d}(\sin x\cdot \ln x)$$$$\frac{1}{y}\mathrm{d}y=\cos x\ln x\mathrm{d}x+\sin x\cdot \frac{1}{x}\mathrm{d}x$$$$\mathrm{d}y=y(\cos x\ln x+\frac{\sin x}{x})\mathrm{d}x$$

代回 $y$ 即可。

总结

微分万能公式 是对一阶微分形式不变性的固定用法。莱布尼茨（Leibniz）的 $\mathrm{d}y$ 和 $\mathrm{d}x$ 符号适合这类计算，因为它们可以清楚记录变量之间的变化关系。

熟悉这种写法后，处理复合函数、隐函数和参数方程时，步骤会更统一。