微积分

微积分 (Calculus)

从几何直观到正式定义，梳理极限、导数与积分的主要计算方法。

微积分的复习可以先从计算题入手。本页按极限、导数与积分三类题目整理常用方法，并列出后续概念学习的入口。

三大计算专题

针对常见考试题型，本页按“判型、选法、计算、检查”的顺序整理主要方法。

1. 极限计算 (Limits)

基本思路：先判型，再选法。极限计算是后续导数与积分学习的基础。

技巧 1：八大等价无穷小 (常用必备)

当 $x\to 0$ 时，以下等价代换常用于化简基础极限题：

函数 $f(x)$	等价无穷小	函数 $f(x)$	等价无穷小
$\sin x$	$x$	$\arcsin x$	$x$
$\tan x$	$x$	$\arctan x$	$x$
$e^x-1$	$x$	$\ln (1+x)$	$x$
$1-\cos x$	$\frac{1}{2}{x}^2$	$(1+x{)}^a-1$	$ax$

技巧 2：$1^{\mathrm{\infty }}$ 型极限速算法

面对 $limf(x{)}^{g(x)}$ 且 $f(x)\to 1,g(x)\to \mathrm{\infty }$ 时：

$$\text{结果}=e^{lim[f(x)-1]g(x)}$$

• 重点内容：洛必达法则的适用边界、泰勒公式展开技巧、变上限积分求导的“拖尾巴”处理。

2. 导数与微分 (Derivatives)

基本思路：按复合结构逐层处理。相关方法见 微分万能公式 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(◻)\mathrm{d}(◻)$。

• 重点内容：攻克隐函数、参数方程、变上限积分函数等各类导数。特别讲解“分母除以 $x^{\prime }(t)$”等二阶导数易错点。

3. 积分计算 (Integrals)

基本思路：先尝试凑微分与换元，再根据函数类型选择分部积分或 DI 表格法。相关整理见 DI Method (表格积分法)。

• 重点内容：整理“凑微分”基本步骤，以及“三角换元去根号”、“反对幂三指”等常用判型规则。

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辅助学习工具

• 公式练习：前往 Memorize 练习常用公式
• 速查手册：下载/打印微积分公式与方法速查表 (PDF)

课程模块大纲

1. 一元微积分
   • 极限与连续性：用 $\epsilon -\delta$ 语言描述趋近与稳定。
   • 导数：变化率与线性逼近。
   • 积分的定义：从黎曼和理解定积分。
2. 多元微积分
   • 偏导数与全微分：理解梯度场与多维空间的局部线性化。
   • 二重积分的定义：从一维面积推广到二维区域上的累加。
   • 重积分与坐标变换：掌握极坐标、柱坐标、球坐标下的积分技巧。配合 空间解析几何 3D 实验室 进行直观验证。
   • 场论初步：直观理解散度与旋度。

推荐教材

• 同济大学《高等数学》：国内最通用的教材，建议反复练习其课后习题。
• James Stewart, Calculus：侧重直觉理解与可视化，适合对抽象概念感到困惑的同学。