教学体系

微积分 (Calculus)

从直观几何到严格定义，构建完整的微积分知识图谱。强调剥洋葱式思维，让计算变得自然而然。

微积分是大学数学的基石。在我的教学中，我将微积分拆解为“三大计算”与“核心理论”两大部分。本页面作为微积分学习的导航中心，旨在帮助你构建从极限到多元微积分的完整知识脉络。

🚀 三大计算专题攻略

针对考试中的核心计算痛点，我总结了一套“机械化”的操作流程。

1. 极限计算 (Limits)

核心心法：先判型，再选法。极限计算是整个微积分的入场券。

💡 技巧 1：八大等价无穷小 (常用必备)

当 $x\to 0$ 时，熟记以下等价代换可以秒杀大部分基础题：

函数 $f(x)$	等价无穷小	函数 $f(x)$	等价无穷小
$\sin x$	$x$	$\arcsin x$	$x$
$\tan x$	$x$	$\arctan x$	$x$
$e^x-1$	$x$	$\ln (1+x)$	$x$
$1-\cos x$	$\frac{1}{2}{x}^2$	$(1+x{)}^a-1$	$ax$

💡 技巧 2：$1^{\mathrm{\infty }}$ 型极限速算法

面对 $limf(x{)}^{g(x)}$ 且 $f(x)\to 1,g(x)\to \mathrm{\infty }$ 时：

$$\text{结果}=e^{lim[f(x)-1]g(x)}$$

• 重点内容：洛必达法则的适用边界、泰勒公式展开技巧、变上限积分求导的“拖尾巴”处理。

2. 导数与微分 (Derivatives)

核心心法：剥洋葱思维。以 微分万能公式 $\mathrm{d}y=f^{\prime }(◻)\mathrm{d}(◻)$ 为核心。

• 重点内容：攻克隐函数、参数方程、变上限积分函数等各类导数。特别讲解“分母除以 $x^{\prime }(t)$”等二阶导数易错点。

3. 积分计算 (Integrals)

核心心法：凑微分与换元大法。推广 DI Method (表格积分法)。

• 重点内容：深入拆解“凑微分”基本功，提供“三角换元去根号”、“反对幂三指”优先级模板。

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🛠️ 辅助学习工具

• 公式练习：前往 Memorize 练习核心公式
• 速查手册：下载/打印微积分核心心法速查表 (PDF)

📚 课程模块大纲

1. 一元微积分
   • 极限与连续性的工程意义：如何用 $\epsilon -\delta$ 语言描述稳定性。
   • 导数：变化率与线性逼近，掌握导数的物理与几何本质。
   • 积分：累积量与微分方程初步，理解牛顿-莱布尼茨公式。
2. 多元微积分
   • 偏导数与全微分：理解梯度场与多维空间的局部线性化。
   • 重积分与坐标变换：掌握极坐标、柱坐标、球坐标下的积分技巧。
   • 场论初步：直观理解散度与旋度。

📖 推荐教材

• 同济大学《高等数学》：国内最通用的教材，建议反复练习其课后习题。
• James Stewart, Calculus：侧重直觉理解与可视化，适合对抽象概念感到困惑的同学。