线性代数

克拉默法则的几何直观

把二维线性方程组看成向量合成问题：未知数不是抽象符号，而是把右端向量拆成两条基向量时的缩放比例。

“

“在二维情形下，克拉默法则可以看成两个有向面积的比值。”

MatNoble

设二维线性方程组写成矩阵形式：

A x = b, A = [\begin{matrix} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{matrix}] = [\begin{matrix} a_{1} & a_{2} \end{matrix}] .

这句话的几何含义是：

x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2} = b .

也就是说，求解方程组就是把右端向量 $b$ 拆成两条列向量 $a_{1}, a_{2}$ 的线性组合。

交互演示

下面的模型需要全屏打开。进入演示后，可以调整右端向量 $b$ ，查看 $D_{1}$ 、 $D_{2}$ 与解的对应关系。

Interactive model

进入全屏后拖拽向量 b，观察 D1、D2 与解的变化。

行列式

D = det (a_{1}, a_{2})

表示由两条列向量围成的有向面积。当

b = x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2}

时，用 $b$ 替换第一列：

D_{1} = det (b, a_{2}) = det (x_{1} a_{1} + x_{2} a_{2}, a_{2}) .

利用行列式对列的线性性：

D_{1} = x_{1} det (a_{1}, a_{2}) + x_{2} det (a_{2}, a_{2}) = x_{1} D .

因为两列相同的行列式为 $0$ ，所以只剩下 $x_{1} D$ 。同理：

D_{2} = det (a_{1}, b) = x_{2} D .

只要 $D \neq 0$ ，两条列向量没有共线，方程组就有唯一解：

x_{1} = \frac{D_{1}}{D}, x_{2} = \frac{D_{2}}{D} .

当 $D = 0$ 时，基准面积为零，说明两条列向量共线。此时克拉默法则不能直接使用，方程组需要改用相容性与秩来判断。