互动教学

二阶常系数线性微分方程

围绕特征方程，说明不同判别式对应的三类通解形式。滚动页面可查看图形辅助说明。

二阶常系数齐次线性微分方程

$$y^{″}+p{y}^{\prime }+qy=0$$

可以通过特征方程

$$r^2+pr+q=0$$

转化为代数问题。根据特征根的情况，通解分为三类。

情形 1：两个不相等的实根

为什么通解中会出现 $e^{rx}$？原因是指数函数求导后仍保持指数形式：

如果设 $y=e^{rx}$，则 $y^{\prime }=r{e}^{rx}$，$y^{″}=r^2{e}^{rx}$。代入方程得到：

$$L[e^{rx}]=(r^2+pr+q)e^{rx}=0$$

由于 $e^{rx}\ne 0$，所以只需令 $r^2+pr+q=0$。当特征方程有两个不相等实根 $r_1,r_2$ 时，通解为

$$y=C_1{e}^{r_{1}x}+C_2{e}^{r_{2}x}.$$

情形 2：重根

当判别式 $\mathrm{\Delta }=0$ 时，特征方程只有一个重根 $r$。这时 $e^{rx}$ 只能提供一个特解。

二阶线性齐次微分方程的通解需要两个线性无关的特解。因此还需要寻找另一个与 $e^{rx}$ 线性无关的解。

用常数变易法（降阶法）设另一个解为 $y_2=u(x)e^{rx}$，代入可得到 $u(x)=x$。因此重根情形下的通解为

$$y=(C_1+C_{2}x)e^{rx}.$$

情形 3：一对共轭复根

当判别式 $\mathrm{\Delta }<0$ 时，特征方程有一对共轭复根

$$r=\alpha \pm i\beta .$$

利用欧拉公式

$$e^{i\beta x}=\cos \beta x+i\sin \beta x,$$

可以把复指数形式改写成实函数形式：

$$y=e^{\alpha x}(C_1\cos \beta x+C_2\sin \beta x).$$

图中展示的是复指数的旋转部分与实轴投影之间的对应关系。

---

结语

二阶常系数齐次线性微分方程的求解重点，是把微分方程转化为特征方程，并根据特征根分类写出通解。指数函数负责处理求导后的比例变化，欧拉公式负责把复根对应的解改写为正弦和余弦形式。